Question

已知函數y=x²-2ax+1（a為常數）在-2≤x≤1上的最小值為h（a），試將h（a）用a表示出來，并求出h（a）的最大值．

Answer 1

解：∵y=（x-a）²+1-a²，
∴拋物線y=x²-2ax+1的對稱軸方程是x=a．（1分）
（1）當-2≤a≤1時，由圖①可知，當x=a時，該函數取最小值h（a）=1-a²；（3分）
（2）當a＜-2時，由圖②可知，當x=-2時，該函數取最小值h（a）=4a+5；（5分）
（3）當a＞1時，由圖③可知，當x=1時，該函數取最小值h（a）=-2a+2（7分）
綜上，函數的最小值為（8分）
當a＜-2時h（a）＜-3（9分）
當-2≤a≤1時-3≤h（a）≤1（10分）
當a＞1時h（a）＜0（11分）
∴h（a）≤1
∴h（a）_max=1（12分）
分析：由該函數的性質可知，該函數的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關，于是需要對對稱軸的位置進行分類討論．
點評：解決二次函數的最值問題，應該先求出二次函數的對稱軸，判斷出對稱軸與區間的關系，進一步判斷出二次函數的單調性，進一步求出函數的最值．