Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實數a的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=f'（x）-6，對任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a≤0時，請問：是否存在整數a的值，使方程f（x）=15有且只有一個實根？若存在，求出整數a的值；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導，根據函數y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，以及導數的幾何意義，可知f′（1）=3+3a=6，解方程即可求得結果；
（Ⅱ）求出函數g（x），根據對任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，即g（x）=3x²+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立，然后分離參數，轉化為求函數的值域，即可求得結果；
（Ⅲ）求出函數f（x）的極值，要使方程f（x）=15有且只有一個實根，只需∴（f（x）_極小值-15）•（f（x）_極大值-15）＞0，解此不等式即可求得結果．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+3a
∴f′（1）=3+3a=6
∴a=1
（Ⅱ）∵g（x）=3x²+3a-6
∴g（x）=3x²+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立．
∴a＜-x²+2在（-1，1）上恒成立．
而-x²+2＞1在（-1，1）上恒成立．
∴a≤1
（Ⅲ）存在
理由如下：
方程f（x）=15有且只有一個實根，
即為函數y=f（x）的圖象與直線y=15有且只有一個公共點．
由f′（x）=3x²+3a
（1）若a=0，則f′（x）≥0，∴f（x）在實數集R上單調遞增
此時，函數y=f（x）的圖象與直線y=15有且只有一個公共點．
（2）若a＜0，則f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)
列表如下：

x	（-∞，- -a ）	- -a	（- -a ， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴（f（x）_極小值-15）•（f（x）_極大值-15）＞0，得：[(

-a

)3-8][(

-a

)3+8]＜0
∴0＜(

-a

)3＜8，解得-4＜a＜0
綜上所述，-4＜a≤0又a∈Z，
即 a為-3、-2、-1、0．

點評：本題考查導數的幾何意義、函數恒成立的條件以及利用導數研究函數的極值問題，體現了轉化、數形結合的數學思想方法，同時考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬難題．