Question

已知數列{}中，（t＞0且t≠1）．若是函數的一個極值點．
（Ⅰ）證明數列{₊₁﹣}是等比數列，并求數列{}的通項公式；
（Ⅱ）記，當t=2時，數列{b_n}的前n項和為，求使＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）當t=2時，求證：對于任意的正整數n，有 ．

Answer 1

解：（Ⅰ）．
由題意，即，
∴₊₁﹣=t（﹣_﹣1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，
∴數列{₊₁﹣}是以t²﹣t為首項，t為公比的等比數列，
∴₊₁﹣=（t²﹣t）t^n﹣1=（t﹣1）tⁿ
∴a₂﹣a₁=（t﹣1）t
a₃﹣a₂=（t﹣1）t²
…
﹣_﹣1=（t﹣1）t^n﹣1
以上各式兩邊分別相加得，
∴，
當n=1時，上式也成立，
∴
（Ⅱ）當t=2時，
∴=2n﹣（1+++…+）=．
由＞2008，得，，
當n≤1004時，n+＜1005，
當n≥1005時，n+＞1005，
因此n的最小值為1005．
（Ⅲ）∵
∴=
=