Question

已知函數f（x）=lg（x+-2），其中a是大于0的常數．
（1）當a∈（1，4）時，求函數f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（2）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對g（x）=x+-2，利用導數研究g（x）單調性，再利用復合函數的單調性進行求解；
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，只要求出f（x）的最大值即可，利用導數研究f（x）的最值；
解答：解：（1）設g（x）=x+-2，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時
則g′（x）=1-=恒成立，
∴g（x）=x+-2在[2，+∞）上是增函數
∴f（x）=lg（x+-2）在[2，+∞）上是增函數，
∴f（x）=lg（x+-2）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=lg   …6分
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立…8分
∴a＞3x-x²，而h（x）=3x-x²=-（x-）²+在x∈[2，+∞）上是減函數 …10分
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2；
點評：此題主要考查函數的恒成立問題，利用了常數分離法，這也是高考常用的方法，本題是一道中檔題；