Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，且在x=1處取得極值，直線x-3y+3=0與曲線y=f（x）在原點處的切線互相垂直．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若對任意實數的m，n∈[-2，2]，恒有|f（m）-f（n）|≤t成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，求c的值，根據在x=1處取得極值，直線x-3y+3=0與曲線y=f（x）在原點處的切線互相垂直，可求a，b的值，從而可求函數f（x）的解析式；
（II）確定函數在[-2，2]上的最值，即可求得實數t的取值范圍．

解答：解：（I）由題意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b
∵函數在x=1處取得極值，∴f′（1）=3+2a+b=0
又曲線y=f（x）在原點處的切線的斜率k=f′（0）=b，直線x-3y+3=0與曲線y=f（x）在原點處的切線互相垂直
∴b=-3，從而可得a=0，
∴f（x）=x³-x；
（II）由（I）f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）＞0可得x＜-1或x＞1；令f'（x）＜0可得-1＜x＜1
∴函數在（-∞，-1），（1，+∞）上為增函數，在（-1，1）上為減函數
∵f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2
∴f（x）在[-2，2]上的最大值是2，最小值是-2
∵對任意實數的m，n∈[-2，2]，恒有|f（m）-f（n）|≤t成立，
∴t≥|2-（-2）|，即t≥4．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的解析式，考查函數的最值，考查恒成立問題，確定函數的最值是關鍵．