Question

（2011•溫州二模）已知定義在同一個區(qū)間（

3

3

，

6

2

）上的兩個函數(shù)f（x）=x²-2alnx，g（x）=x³-bx²+x在x=x₀處的切線平行于x軸．
（1）求實數(shù)a和b的取值范圍；
（2）試問：是否存在實數(shù)x₁，x₂，當x₁，x₀，x₂成等比數(shù)列時，等式f（x₁）+f（x₂）=2g（x₀）成立？若成立，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）在x=x₀處的切線平行于x軸可知f′（x）=0的解在區(qū)間（

3

3

，

6

2

）上，可求出a的取值范圍，然后根據(jù)g′（x）=0將b用a表示，根據(jù)a的范圍可求出b的取值范圍；
（2）假設(shè)存在實數(shù)x₁，x₂∈（

3

3

，

6

2

）則x₁•x₂=a，根據(jù)f當x₁，x₀，x₂成等比數(shù)列時等式（x₁）+f（x₂）=2g（x₀）成立建立等式關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從得到（x₁-x₂）²＜0，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）f′（x）=2x-

2a

x

令f′（x）=0
∵a＞0∴x=

a

∵

3

3

＜

a

＜

6

2

∴

1

3

＜a＜

3

2

g′（x）=3x²-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b

a

+1=0
∴b=

3a+1

2 a

=

1

2

（3

a

+

1

a

）
∵

3

3

＜t=

a

＜

6

2

∴

1

2

（3t+

1

t

）在（

3

3

，

6

2

）上單調(diào)遞減則b∈（

3

，

11 6

12

）
（2）假設(shè)存在實數(shù)x₁，x₂∈（

3

3

，

6

2

）則x₁•x₂=a
由題意得x₁²+x₂²-2alnx₁-2alnx₂=-a

a

+

a

x₁²+x₂²-2x₁•x₂=2alna-a

a

+

a

-2a
令φ（a）=2alna-a

a

+

a

-2a  （

1

3

＜a＜

3

2

）
φ′（a）=2lna+

1

2 a

-

3

2

a

φ‘’（a）=

2

a

-

1

4a a

-

3

4 a

=

8 a -1-3a

4a a

＞0
∴φ′（a）在（

1

3

，

3

2

）上是增函數(shù)
∴φ′（a）＜φ′（

3

2

）=2ln

3

2

-

7 6

12

＜0
∴φ（a）在（

1

3

，

3

2

）上是減函數(shù)
∴φ（a）＜φ（

1

3

）=

2

3

ln

1

3

+

3

3

-

3

9

-

2

3

＜0
∴（x₁-x₂）²＜0
即不存在滿足條件的x₁與x₂．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題．