Question

已知函數f（x）=

a

x

+lnx-1．
（1）求f（x）的單調區間．
（2）若a＞0，求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（3）若0＜a＜e，g（x）=-

2e

x

-lnx．?x₁∈（0，e]，x₂∈（0，e]，使g（x₁）=f（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則得到f′（x），通過對a分類討論即可得出其單調性；
（2）利用（1）通過對a分類討論即可得出其最小值．
（3）利用導數分別得到函數g（x）的最大值及f（x）的最小值，必須滿足g（x）_max≥f（x）_min，解出即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

a

x

+lnx-1，（x＞0），∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，當x＞a時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當0＜x＜a時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
（2）①若a≥e，由（1）可知：函數f（x）在區間（0，e]上單調遞減，因此當x=e時，函數f（x）取得最小值f（e）=

a

e

．
②若0＜a＜e，由（1）可知：函數f（x）在區間（0，a）上單調遞減，在區間（a，e）上單調遞增，因此當x=a時，函數f（x）取得極小值，即最小值f（a）=lna．
（3）∵當0＜x≤e時，∴g′(x)=

2e

x2

-

1

x

=

2e-x

x2

＞0，∴g（x）在區間（0，e]上單調遞增，∴g（x）≤g（e）=-3．
由（2）可知：對于函數f（x），當0＜x≤e，0＜a＜e時，函數f（x）取得最小值f（a）=lna．
因此要使?x₁∈（0，e]，x₂∈（0，e]，使g（x₁）=f（x₂），則必須g（x）_max≥f（x）_min，即-3≥lna，
解得0＜a＜

1

e3

，
∴a的取值范圍是(0，

1

e3

)．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值及其最值是解題的關鍵．