Question

是否同時存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由．
（1）漸近線方程為x+2y=0，x-2y=0；
（2）點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離最小值為

6

．

Answer 1

分析：根據雙曲線和其漸近線之間的關系，設出雙曲線的方程，根據點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離最小值為

6

，轉化為雙曲線與半徑為

6

的圓A相切，聯立消去y得，利用△=0即可求得雙曲線的方程．

解答：解：由漸近線方程為x±2y=0，設雙曲線方程為x²-4y²=m，∵點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離的最小值為

6

，
說明雙曲線與半徑為

6

的圓A相切，
∵圓A方程為（x-5）²+y²=6，與x²-4y²=m聯立消去y得：4（x-5）²+x²=24+m 化簡得到：5x²-40x+76-m=0，△=40²-4×5×（76-m）=0，
解得m=-4 所以滿足條件的雙曲線方程為x²-4y²=-4，
即y²-

x2

4

=1．
或者雙曲線的頂點在（5+

6

，0）漸近線為x±2y=0，雙曲線方程為：

x2

31+10 6

-

4y2

31+10 6

=1．
所以所求雙曲線方程為：y²-

x2

4

=1，

x2

31+10 6

-

4y2

31+10 6

=1．

點評：考查雙曲線的簡單的幾何性質，特別是雙曲線方程與其漸近線方程之間的關系，已知雙曲線的方程求其漸近線方程時，令

x2

a2

-

y2

b2

=0即可，反之，如此題設雙曲線方程為x²-4y²=m，避免了討論，條件（2）的設置增加了題目的難度，體現了轉化的思想，屬中檔題．