Question

在△ABC中，已知cosA=

5

13

，sinB=

3

5

，則sinC=

63

65

．

Answer 1

分析：在△ABC中，由cosA=

5

13

＜

1

2

，可得到

π

2

＞A＞

π

3

，由sinB=

3

5

＞

1

2

，可得到

π

6

＜B＜

π

2

，從而可得到C的范圍，利用兩角和的正弦即可求得答案．

解答：解：∵在△ABC中，由cosA=

5

13

＜

1

2

=cos

π

3

，A∈（0，π），
∴

π

3

＜A＜

π

2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 25 169

=

12

13

；
又sinB=

3

5

＞

1

2

，sinB=

3

5

＜

2

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

4

，或

3π

4

＜B＜

5π

6

（舍，此時A+B大于π，故舍），
∴cosB=

4

5

，
∴sinC=sin[π-（B+A）]
=sin（B+A）
=sinBcosA+cosBsinA
=

3

5

•

5

13

+

4

5

•

12

13

=

63

65

故答案為：

63

65

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，關鍵在于由已知條件判斷A、B、C的范圍，考查同角三角函數間的基本關系，屬于中檔題．