Question

在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=

3

csinA-acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理將題中等式化成sin（C-

π

6

）=

1

2

，結合角C的取值范圍和正弦函數的性質可得C=

π

3

；
（2）設三角形外接圓半徑為R，由正弦定理結合三角恒等變換，將三角形周長化成C=4sin（A+

π

6

）+2，再根據A∈（0，

2π

3

），結合三角函數的圖象與性質即可算出△ABC周長的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=

3

csinA-acosC
∴根據正弦定理，得sinA=

3

sinCsinA-sinAcosC
結合sinA＞0，兩邊消去sinA得1=

3

sinC-cosC，即sin（C-

π

6

）=

1

2

，
結合C-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），解之得C=

π

3

；             …（3分）
（2）設三角形外接圓半徑為R，則
周長C=a+b+c=2R（sinA+sinB）+2=

2

sin π 3

[sinA+sin（A+

π

3

）]+2
=

4

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）+2=4（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）+2
=4sin（A+

π

6

）+2                          …（6分）
∵A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），得4sin（A+

π

6

）∈（2，4]
因此，周長的取值范圍為（4，6]．                  …（8分）

點評：本題給出三角形的邊角關系，求C的大小并求三角形周長的取值范圍．著重考查了利用正弦定理解三角形、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．