Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。

已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。

若，是否存在，有說明理由；

找出所有數列和，使對一切,,并說明理由；

若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。

Answer 1

解：（1）由，                      ……2分

整理后，可得，_，為整數，

不存在_{，使等式成立。}                       ……5分

（2）解法一：若即，        （*）

（ⅰ）若，

當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求。   ……7分

（ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得（*）式等號右邊的極限只有當時，才可能等于1，此時等號左邊是常數，∴，矛盾。

綜上所述，只有當為非零常數列，為恒等于1的常數列，滿足要求。

……10分

解法二：設，若，對都成立，且為等比數列，

則，對都成立，即，

，對都成立，

                                    ……7分

（ⅰ）若，。

（ⅱ）若，則（常數），即，則，矛盾

綜上所述，，使對一切，       ……10分

（3），

設

，

，，            ……13分

取，……15分

由二項展開式可得正整數，使得，

存在整數滿足要求。

故當且僅當，命題成立。                            ……18分

說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）

若為偶數，則為偶數，但為奇數。

故此等式不成立，一定為奇數。                         ……1分

當時，則，

而

當為偶數時，存在，使成立，                  ……1分

當時，則，

也即，，

由已證可知，當為偶數即為奇數時，存在，成立，……2分

當時，則，

也即，而不是5的倍數，當所要求的不存在，

故不是所有奇數都成立。                                        ……2分