Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠A=90°，且AB∥CD，AB=CD．

(1)點F在線段PC上運動，且設=λ，問當λ為何值時，BF∥平面PAD?并證明你的結論；

(2)若二面角F-CD-B為45°，求二面角B-PC-D的大小；

(3)在(2)的條件下，若AD=2，CD=3，求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

解：(1)當λ=1時，即F為PC的中點時，BF∥面PAD，取PD的中點為M，連FM，AM.∵FM∥CD∥AB，FM=CD=AB，∴四邊形ABFM為平行四邊形，∴BF∥AM，又AM面PAD，BF面PAD，∴BF∥面PAD．

(2)易證∠PDA為二面角F-CD-B的平面角，∴∠PDA=45 ，又M為PD的中點，∴AM⊥PD，又CD⊥面PAD，∴AM⊥CD，∴AM⊥面PCD．∵AM∥BF，∴BF⊥面PCD，BF面PBC，∴平面PBC⊥面PCD，即二面角B-PC-D為90°．

(3)延長CB交DA于T點，作AN⊥TB，連PN，則TBPAN，作AH⊥PN于H點，則AH⊥面PBC，即AH為點平面PBC的距離．

PA=AD=AT=2，AB=，AN=∴AH=

或等體積法V_A-PBC=V_P-ABC或建系均可．