Question

甲、乙兩個盒子中裝有大小相同的小球，甲盒中有2個黑球和2個紅球，乙盒中有2個
黑球和3個紅球，從甲乙兩盒中各任取一球交換．
（1）求交換后甲盒中恰有2個黑球的概率；
（2）（文）設交換后甲盒中的黑球數沒有減少的概率．
（3）（理）設交換后甲盒中黑球的個數為ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）事件“交換后甲盒中恰有2個黑球”可以分解為①取出的兩個球都是黑球；②取出的兩個球都是紅球，因此按這兩種情況分類討論分別求出相應的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（2）事件“交換后甲盒中的黑球數沒有減少”包含兩種情況，一種是（1）中第一條的事件，另一種是“從甲盒中取出紅球，乙盒中取出黑球交換”，用隨機事件概率的公式求出后一事件的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（3）根據（1）和（2）的概率計算結果，不難列出隨機變量ξ的分布列的表格，再利用離散型隨機變量數學期望的公式，可以求出ξ的數學期望．

解答：解：（1）甲乙兩盒各取一個球交換后，甲盒中恰有2個黑球有下面幾種情況：
①取出的兩個球都是黑球，則甲盒恰好有2個黑球的事件記為A₁，則P(A1)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

…（3分）
②取出的兩個球都是紅球，則此時甲盒中恰有2個黑球的事件記為A₂，則P(A2)=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

…（6分）
故P₁=P（A₁）+P（A₂）=

1

5

+

3

10

=

1

2

…（8分）
（2）（文）設從甲盒中取出紅球，乙盒中取出黑球交換為事件A₃，
則  P(A3)=

C 1 2 • C 1 2

C 1 4 • C 1 5

=

1

5

…（10分）
所以概率為P₂=P₁+P（A₃）=

7

10

．…（12分）
（3）（理）則ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

根據表格，可得ξ的數學期望為Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

…（12分）

點評：本題著重考查了等可能事件的概率、離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的期望與方差等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中事件分解的思路和公式的正確使用．