Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）一個周期的圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若f（α）+f（α-

π

3

）=

24

25

，且α為△ABC的一個內角，求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的圖象，求出A、T，求出ω，函數x=-

π

6

時，y=0，結合-

π

2

＜φ＜

π

2

求出φ，然后求函數f（x）的表達式；
（2）利用f（α）+f（α-

π

3

）=

24

25

，化簡出（sinα+cosα）²，2sinαcosα=

24

25

＞0且α為△ABC的一個內角，確定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．

解答：解：（1）從圖知，函數的最大值為1，則A=1．
函數f（x）的周期為T=4×（

π

12

+

π

6

）=π．
而T=

2π

ω

，則ω=2．又x=-

π

6

時，y=0，
∴sin[2×（-

π

6

）+φ]=0．
而-

π

2

＜φ＜

π

2

，則φ=

π

3

，
∴函數f（x）的表達式為f（x）=sin（2x+

π

3

）．

（2）由f（α）+f（α-

π

3

）=

24

25

，得
sin（2α+

π

3

）+sin（2α-

π

3

）=

24

25

，
即2sin2αcos

π

3

=

24

25

，∴2sinαcosα=

24

25

．
∴（sinα+cosα）²=1+

24

25

=

49

25

．
∵2sinαcosα=

24

25

＞0，α為△ABC的內角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=

7

5

．

點評：本題是基礎題，考查函數解析式的求法，根據三角函數式，確定函數的取值范圍，是解題的難點，考查學生視圖能力，計算能力．