Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當(dāng)x1，x2∈[0，2]且x1≠x2時(shí)，都有 給出下列四個(gè)命題：

①f（﹣2）=0；

②直線x=﹣4是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；

③函數(shù)y=f（x）在[4，6]上為減函數(shù)；

④函數(shù)y=f（x）在（﹣8，6]上有四個(gè)零點(diǎn)．

其中所有正確命題的序號(hào)為_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】對(duì)于①，對(duì)于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，

令x=﹣2，則f（﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2），

∴f（﹣2）=0，①正確；

對(duì)于②，由①知f（x+4）=f （x），則f（x）的周期為4，

又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（x+4）=f（﹣x），

而f（x）的周期為4，則f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4），

∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x），

∴直線x=﹣4是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，②正確；

對(duì)于③，當(dāng)x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2時(shí)，都有，

∴函數(shù)y=f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，

而f（x）的周期為4，

∴函數(shù)y=f（x）在[4，6]上為減函數(shù)，③正確；

對(duì)于④，∵f（2）=0，f（x）的周期為4，

函數(shù)y=f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，

在[﹣2，0]上為減函數(shù)，

作出函數(shù)在（﹣8，6]上的圖象如圖所示；

∴函數(shù)y=f（x）在（﹣8，6]上有4個(gè)零點(diǎn)，④正確．

綜上，以上正確的命題是①②③④．

故答案為．①②③④．