Question

設函數．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間．
（2）令g（x）=ax-f（x），根據導數研究單調性的方法，即轉化成研究對任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分類討論的方法求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）．（2分）
當（k∈Z）時，，即f'（x）＞0；
當（k∈Z）時，，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一個區間（k∈Z）是增函數，f（x）在每一個區間（k∈Z）是減函數．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），則==．
故當時，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以當x≥0時，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
當時，令h（x）=sinx-3ax，則h'（x）=cosx-3a．
故當x∈[0，arccos3a）時，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上單調增加．
故當x∈（0，arccos3a）時，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，當x∈（0，arccos3a）時，．
當a≤0時，有．
因此，a的取值范圍是．（12分）
點評：本小題主要考查函數的導數、單調性、不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．