Question

如圖，△ABC是內接于⊙O，直線切⊙O于點，弦BD∥MN，AC與BD相交于點E．
（I）求證：△ABE≌△ACD；
（Ⅱ）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer 1

分析：（I）在△ABE和△ACD中，由AB=AC，知∠ABE=∠ACD，由∠BAE=∠EDC，BD∥MN，知∠EDC=∠DCN，再由直線是圓的切線能夠證明△ABE≌△ACD．
（Ⅱ）由∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，知∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，由∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，得到BC=BE=4，△ABE∽△DEC，由此能夠推導出AE．

解答：解：（I）在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAE=∠EDC，BD∥MN，∴∠EDC=∠DCN，
∵直線是圓的切線，∴∠DCN=∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD．
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC，
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4，
∵∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB，
∴BC=BE=4，△ABE∽△DEC，
設AE=x，則

DE

x

=

DC

AB

=

4

6

，
解得DE=

2

3

x，
∵AE•EC=BE•ED，∴EC=6-x，
4•

2

3

x=x（6-x），解得x=

10

3

．

點評：本題考查三角形全等的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意與圓有關的線段的應用．