Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 直線l經過F2且交橢圓C于A，B兩點（如圖），△ABF1的周長為4 ，原點O到直線l的最大距離為1．

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過F2作弦AB的垂線交橢圓C于M，N兩點，求四邊形AMBN面積最小時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知， ，c=1，

∴ ，

又∵a2=b2+c2，∴b=1，

∴橢圓C的標準方程為 ；

（2）解：當直線AB的斜率不存在時，

有 ， ，∴ ；

當直線AB的斜率為0時， ，∴ ；

當直線AB的斜率存在且不為0時，

設直線AB的方程為y=k（x﹣1），則直線MN的方程為 ，

聯立 得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，

∴|AB|= = = ．

同理|MN|= ，

∴ |AB||MN|= ，

令t=k2+1（t≥1）， ，

當 ．即k2+1=2，即k=±1時， ．

此時設直線AB的方程為y=±（x﹣1）

【解析】（1）由題意可得a，c的值，由隱含條件求得b的值，則橢圓方程可求；（2）分類求出直線AB的斜率不存在、斜率為0時的四邊形AMBN面積，在設出斜率存在且不為0時的直線方程，聯立直線方程和橢圓方程利用弦長公式求得|AB|、|MN|的長度，代入四邊形面積公式，換元后利用配方法求得最值，同時得到邊形AMBN面積最小時直線l的方程．