Question

某連鎖分店銷售某種品牌產品，每件產品的成本為4元，并且每件產品需向總店交5元的管理費，預計當每件產品的售價為x元（10≤x≤12）時，一年的銷售量為（13-x）²萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式L（x）（銷售一件商品獲得的利潤為x-（4+5））；
（2）當每件產品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析：（1）利潤函數L（萬元）與售價x的關系式為：L（x）=（銷售一件商品獲得的利潤）×一年的銷售量；
（2）對利潤函數求導，得L′（x），令L'（x）=0，解得x的值，從而求得L（x）的最大值，即利潤最大．

解答：解：（1）該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：L（x）=（x-9）（13-x）²，x∈[10，12]．
（2）對利潤函數求導，得L′（x）=（13-x）²-2（x-9）（13-x）=（13-x）（31-3x）；
令L'（x）=0，得x=

31

3

或x=13（舍去）；
因為L（x）在x∈[10，

31

3

]上單調遞增，L（x）在x∈[

31

3

，12]上單調遞減，
所以Lmax=L(

31

3

)=(

31

3

-9)(13-

31

3

)2=

256

27

．
答：當每件售價為

31

3

元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為

256

27

萬元．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且考查了用導數法求三次函數在定義域上的最值問題，屬于中檔題．