Question

在等比數列{a_n}中，首項為a₁，公比為q，S_n表示其前n項和．
（I）記S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，證明A，B，C成等比數列；
（II）若a1=a∈[

1

2010

，

1

1949

]，

S6

S3

=9，記數列{log₂a_n}的前n項和為T_n，當n取何值時，T_n有最小值．

Answer 1

分析：（ I）A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故

B

A

=

an+1

a1

=qn，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．所以A，B，C成等比數列；
（II）若q=1，則

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，與題設矛盾；若q≠1，則

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能夠推導出當n=11時，T_n有最小值．

解答：解：（ I）當q=1時，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，
C=3na₁-2na₁=na₁，可見A，B，C成等比數列；（2分）
當q≠1時，A=

a1(1-qn)

1-q

，B=

an+1(1-qn)

1-q

，
C=

a2n+1(1-qn)

1-q

．故有

B

A

=

an+1

a1

=qn
，

C

B

=

a2n+1

an+1

=

an+1qn

an+1

=qn．
可得

B

A

=

C

B

，這說明A，B，C成等比數列．
綜上，A，B，C成等比數列；（6分）

（II）若q=1，則

S6

S3

=

6a1

3a1

=2≠9，
與題設矛盾，此情況不存在；
若q≠1，則

S6

S3

=

a1(1-q6)

a1(1-q3)

=1+q3，
故有1+q³=9，解得q=2． （8分）
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以數列{log₂a_n}是以log₂a為首項，1為公差的等差數列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因為a∈[

1

2010

，

1

1949

]，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，（10分）
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知滿足log₂a_n≤0的最大的n值為11．
所以，數列{log₂a_n}的前11項均為負值，
從第12項開始都是正數．因此，當n=11時，T_n有最小值． （12分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．