Question

【題目】設函數，．

（1）當時，求函數的單調區間及所有零點；

（2）設，，為函數圖象上的三個不同點，且

．問：是否存在實數，使得函數在點處的切線與直線平行？若存在，求出所有滿足條件的實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間是，零點是；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）定義域為，當時，求導得，由于沒辦法畫圖導函數圖象，所以再次求導得，故一階導數在單調遞減，在單調遞增，且，所以原函數在定義域上為增函數，且是唯一零點；（2）化簡，，由此求得處切線的斜率，利用兩點坐標，求出直線的斜率，兩者相等，化簡后按，討論后可知符合題意.

試題解析：

解：（1）當時，，

則，

記，

則，即，

從而，在上單調遞增，在上單調遞減，則，即恒成立，

故在上單調遞增，無單調遞減區間，又，則0為唯一零點．

（2）由題意知，

則，

直線的斜率，則有：，

即，

即，

即，即，①

當時，①式恒成立，滿足條件；

當時，①式得，②

記，不妨設，則，②式得．③

由（1）問可知，方程③在上無零點．

綜上，滿足條件的實數．