Question

17．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AP⊥平面PCD，E，F分別為PC，AB的中點．求證：
（1）平面PAD⊥平面ABCD；
（2）EF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的性質可證AP⊥CD，又ABCD為矩形，AD⊥CD，利用線面垂直的判定定理可證CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定可證平面PAD⊥平面ABCD．
（2）連接AC，BD交于點O，連接OE，OF，由ABCD為矩形，O點為AC中點，可證OE∥PA，進而可證OE∥平面PAD，同理可得：OF∥平面PAD，通過證明平面OEF∥平面PAD，即可證明EF∥平面PAD．

解答 證明：（1）∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AP⊥CD，
∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD，…2分
又∵AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，…4分
∵CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD…6分
（2）連接AC，BD交于點O，連接OE，OF，
∵ABCD為矩形，∴O點為AC中點，
∵E為PC中點，
∴OE∥PA，
∵OE?平面PAD，PA?平面PAD，
∴OE∥平面PAD，…8分
同理可得：OF∥平面PAD，…10分
∵OE∩OF=O，
∴平面OEF∥平面PAD，…12分
∵EF?平面OEF，
∴EF∥平面PAD…14分

點評 本題主要考查了線面垂直的判定和性質，面面垂直的判定，線面平行的判定與面面平行的性質的綜合應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．