Question

在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手（1至5號）登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．
（Ⅰ） 求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）設事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1-=，利用互斥事件的概率公式，即可求得結論；
（II）由題意，X可取0，1，2，3，求出相應的概率，即可得到X的分布列與數學期望．
解答：解：（Ⅰ）設事件A表示：“觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手”，
觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙未選中3號歌手的概率為1-=，
∴P（A）=，
∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為；
（Ⅱ） X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，則X可取0，1，2，3．
觀眾甲選中3號歌手的概率為，觀眾乙選中3號歌手的概率為，
當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0，P（X=0）=（1-）（1-）²=，
當觀眾甲、乙、丙只有一人選中3號歌手時，這時X=1，
P（X=1）=（1-）²+（1-）（1-）+（1-）（1-）=，
當觀眾甲、乙、丙只有二人選中3號歌手時，這時X=2，
P（X=2）=•（1-）+（1-）•+（1-）=，
當觀眾甲、乙、丙都選中3號歌手時，這時X=3，
P（X=3）=•（）²=，
X的分布列如下：

X		1	2	3
P

∴數學期望EX=0×+1×+2×+3×=．
點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．