Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，2），若點(diǎn)N（x，y）滿足不等式組

x≥0 y≥0 x+y≤s 2x+y≤4

，當(dāng)1≤s≤3時(shí)，則

OM

•

ON

的最大值的變化范圍是（　　）

A．[3，8]

B．[3，7]

C．[4，7]

D．[4，8]

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由于

OM

•

ON

=3x+2y，設(shè)z=3x+2y，再利用z的幾何意義求最值，即可求解

解答：解：由于

OM

•

ON

=（3，2）•（x，y）=3x+2y，
設(shè)z=3x+2y，則y=-

3

2

x+

1

2

z，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大
當(dāng)1≤s≤2時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖（I）所示的陰影部分
作直線L：0=3x+2y，把L向可行域平移，結(jié)合圖象可知，直線z=3x+2y經(jīng)過點(diǎn)B（，s，0）時(shí)，z最大，
最大為：3s，此時(shí)，3s∈[3，6]
圖（I）
當(dāng)2＜s≤3時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖（II）所示的陰影區(qū)域
直線z=3x+2y經(jīng)過交點(diǎn)A（1，2）時(shí)，z最大，最大為：7．
作直線L：0=3x+2y，把L向可行域平移，結(jié)合圖象可知，直線z=3x+2y經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z最大，
由

x+y=s 2x+y=4

可得C（4-s，2s-4），此時(shí)z最大為：z=s+4∈（6，7]
此時(shí)，3s∈[3，6]
綜上可得z的最大值的范圍為[3，7]，即則

OM

•

ON

的最大值的范圍為[3，7]，
故選B

圖（II）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．