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17、求證：（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2n2．
分析：利用（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，兩邊分別用二項式定理，通過xn的系數相等得證．
解答：證明：由（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，兩邊展開得：
（Cn0+Cn1x+Cn2x2++Cnm-1xn-1+Cnnxn）•（Cn0+Cn1x+Cn2x2++Cnn-1xn-1+Cnnxn）=C2n0+C2n1x+C2n1x2++C2n2nx2n
比較等式兩邊xn的系數，它們應當相等，所以有：
Cn0•Cnn+Cn1•Cnn-1+Cn2•Cnn-2++Cnn•Cn0=C2nn
由Cnr=Cnn-r，
得（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2++（Cnn）2=C2nn．
點評：本題關鍵是構造出（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

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在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的兩邊求導，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求導法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
xk-1．
（2）對于正整數n≥3，求證：
（i）
n
k=1
(-1)kk
C
k
n
=0；
（ii）
n
k=1
(-1)kk2
C
k
n
=0；
（iii）
n
k=1
1
k+1
C
k
n
=
2n+1-1
n+1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）求證：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）設n是滿足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整數，求97n除以99的余數．
（3）當n∈N*且n＞1時，求證2＜（1+
1n
）n＜3．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（1）求證：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）設n是滿足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整數，求97n除以99的余數．
（3）當n∈N*且n＞1時，求證2＜（1+數學公式）n＜3．

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