Question

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x-1）f′（x）≥0，則必有（ ）
A．f（0）+f（2）＜2f（1）
B．f（0）+f（2）≤2f（1）
C．f（0）+f（2）≥2f（1）
D．f（0）+f（2）＞2f（1）

Answer 1

【答案】分析：分x≥1和x＜1兩種情況對（x-1）f′（x）≥0進行討論，由極值的定義可得當x=1時f（x）取得最小值，故問題得證．
解答：解：依題意，當x≥1時，f′（x）≥0，函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
當x＜1時，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，1）上是減函數，
故當x=1時f（x）取得最小值，即有
f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），
∴f（0）+f（2）≥2f（1）．
故選C．
點評：本題以解不等式的形式，考查了利用導數求函數極值的方法，同時靈活應用了分類討論的思想，是一道好題．