Question

【題目】已知等差數列與等比數列滿足，，且.

（1）求數列，的通項公式；

（2）設，是否存在正整數，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），． （2）存在正整數，，證明見解析

【解析】

（1）根據題意，列出關于d與q的兩個等式，解方程組，即可求出。

（2）利用錯位相減求出，再討論求出的最小值，對應的n值即為所求的k值。

（1）解：設等差數列與等比數列的公差與公比分別為，，

則，解得，

于是，，．

（2）解：由，

即，①

，②

①②得：，

從而得．

令,得,顯然、所以數列是遞減數列，

于是，對于數列，當為奇數時，即，，，…為遞減數列，

最大項為，最小項大于；

當為偶數時，即，，，…為遞增數列，最小項為，最大項大于零且小于，

那么數列的最小項為．

故存在正整數，使恒成立．