Question

14．已知圓心為C的圓經過O（0，0））和A（4，0）兩點，線段OA的垂直平分線和圓C交于M，N兩點，且|MN|=2$\sqrt{5}$
（1）求圓C的方程
（2）設點P在圓C上，試問使△POA的面積等于2的點P共有幾個？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）求出圓心C到直線OA的距離為1，點P到直線OA的距離為1，即可得出結論．

解答 解：（1）OA的中點坐標為（2，0）．則直線MN的方程為x=2，
設圓心C （2，b），…（1分）
又∵直徑|MN|=2$\sqrt{5}$，∴|CO|=$\sqrt{5}$，∴（2-0）²+b²=5．
解得b=1或-1…（4分）
∴圓心C （2，1）或C（2，-1）．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x-2）²+（y+1）²=5．…（6分）
（2）|OA|=4，${S_{△POA}}=\frac{1}{2}|{OA}|h=\frac{1}{2}×4×h=2$，∴h=1，
∴點P到直線OA的距離為1…（7分）
又因為圓心C到直線OA的距離為1…（8分）
圓心的半徑為$\sqrt{5}$，而$\sqrt{5}-1＞1$…（10分）
所以，圓C上共有四個點P使△POA的面積為2…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查點與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．