Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1) b_n=3n－2 (2) 當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1

解析:

(1)設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由題意得 

解得b₁=1,d=3,∴b_n=3n－2.

(2)由b_n=3n－2,知S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］，log_ab_n+1=log_a.

因此要比較S_n與log_ab_n+1的大小，

可先比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小，

取n=1時(shí)，有(1+1)＞

取n=2時(shí)，有(1+1)(1+)＞…

由此推測(cè)(1+1)(1+)…(1+)＞     ①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判定:

當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1，                                 ②

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1，                           ③

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.

(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證①式成立.

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k≥1），①式成立，即:

  那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

 

這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.

由(ⅰ）(ⅱ）可知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.

由此證得:當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1