Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，其右準線l與x軸的交點為T，過橢圓的上頂點A作橢圓的右準線l的垂線，垂足為D，四邊形AF₁F₂D為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設線段F₂D與橢圓交于點M，是否存在實數λ，使

TA

=λ

TM

？若存在，求出實數λ的值；若不存在，請說明理由；
（3）若B是直線l上一動點，且△AF₂B外接圓面積的最小值是4π，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由AD=F₁F₂得到a與c的關系

a2

c

=2c進而得到e=

2

2

．
（2）得到a，b，c的關系且設出各點的坐標可得

TA

=(-2c，c)，直線F₂D的方程是x-y-c=0聯立直線與橢圓的方程得M(

4

3

c，

1

3

c)，進而得到

TA

=3

TM

．
（3）設圓心N的坐標為（n，n），圓過準線上一點B，則圓與準線有公共點所以

(n-c)2+n2

≥|n-2c|可得n≤-3c或n≥c又r2=(n-c)2+n2=2(n-

c

2

)2+

c2

2

∈[c2，+∞)
（πr²）_min=c²π=4π，則c²=4．

解答：解：（1）依題意：AD=F₁F₂，即

a2

c

=2c，
所以離心率e=

2

2

．
（2）由（Ⅰ）知：a=

2

c，b=c，
故A（0，c），D（2c，c），F₂（c，0），T（2c，0），

TA

=(-2c，c)
所以橢圓方程是

x2

2c2

+

y2

c2

=1，即x²+2y²=2c²，
直線F₂D的方程是x-y-c=0
由，{

x2+2y2=2c2 x-y-c=0

解得：，{

x=0 y=-c

（舍去）或，{

x= 4 3 c y= 1 3 c

即M(

4

3

c，

1

3

c)，

TM

=(-

2

3

c，

1

3

c)，所以

TA

=3

TM

，
即存在λ=3使

TA

=3

TM

成立．
（3）由題可知圓心N在直線y=x上，設圓心N的坐標為（n，n），
因圓過準線上一點B，則圓與準線有公共點，
設圓心N到準線的距離為d，則NF₂≥d，即

(n-c)2+n2

≥|n-2c|，
解得：n≤-3c或n≥c，
又r2=(n-c)2+n2=2(n-

c

2

)2+

c2

2

∈[c2，+∞)
由題可知，（πr²）_min=c²π=4π，則c²=4，
故橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點評：本題的重點是依向量為載體考查直線與圓錐曲線的相交問題，即聯立直線橢圓的方程求解即可，還考查了焦點三角形面積的知識點，這些都是高考的重點內容．