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已知等差數列{an}和等比數列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中項.
(Ⅰ)求數列{an}、{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若cn=2anbn2,求數列{cn}的前n項和Tn
分析:(1)∵已知等{an}為差數列、{bn}為等比數列,及兩個數列的首項,及a3+a5+a7=9,由等差數列的性質不難求出a5的值,進一步求出{an}的通項公式,再根據a7是b3和b7的等比中項,也可求出b5的值,進一步求出{bn}的通項公式.
(2)根據(1)的結論易給出數列{cn}的通項公式,再利用錯位相減法,便可求得Tn
解答:解:(Ⅰ)設等差數列{an}的公差為d,等比數列{bn}的公比為q,
由題意知:a3+a5+a7=9,
3
a
5
 
=9
,∴a5=3,d=
a5-a1
4
=
1
2

an=a1+(n-1)d=
n+1
2
(n∈N+)

a7=4,∵a72=b3•b7=16,∴b52=b3•b7=16,∵b5∈N+
b5=4,∴q4=
b5
b1
=4
,∵q∈R+,∴q=
2

bn=b1qn-1=2
n-1
2
(n∈N+)

(II)因為cn=2an•bn2=(n+1)•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+(n+1)•2n-1.(1)
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n.(2)
由(1)減(2),
-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+
2n-1
2-1
-(n+1)•2n=-n•2n

∴Tn=n•2n
點評:等差數列性質an=am+(n-m)d,am+an=ap+aq?p+q=m+n,(m,n,p,q∈N*)
等比數列性質an=amqn-m,am•an=ap•aq?p+q=m+n,(m,n,p,q∈N*)是常用公式,注意應用.
練習冊系列答案
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同步練習冊答案
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