Question

已知點P在橢圓

x2

49

+

y2

24

=1上，F₁、F₂是橢圓的焦點，且PF₁⊥PF₂，求
（1）|PF₁|•|PF₂|
（2）△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的方程，算出a=5且焦距|F₁F₂|=2c=10．設|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據橢圓的定義和勾股定理建立關于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|=48；
（2）根據（1）的結論，結合直角三角形的面積公式，可得△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=24，得到本題答案．

解答：解：（1）∵橢圓方程為

x2

49

+

y2

24

=1，
∴a²=49，b²=24，可得c²=a²-b²=25，即a=7，c=5
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則有

m+n=2a=14-----(1) m2+n2=(2c)2=100--(2)

由（1）²-（2），得2mn=96，即mn=48，
∴|PF₁|•|PF₂|=48
（2）由（1），可得|PF₁|•|PF₂|=48，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=

1

2

×48=24．

點評：本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．