Question

F₁ F₂分別是雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，I是△PF₁F₂的內心，且S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，則λ=

-

4

5

．

Answer 1

分析：設△PF₁F₂的內切圓的半徑為r，由S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，可求得|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，利用雙曲線的離心率的定義即可求得λ．

解答：解：依題意，設△PF₁F₂的內切圓的半徑為r，
則S_△IPF1=

1

2

|PF₁|•r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，
∴|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|，
∵P為雙曲線右支上一點，
∴2a=-λ×2c，由雙曲線的方程可知，a=4，b=3，故c=5，
∴λ=-

2a

2c

=-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，突出考查轉化思想的運用，將S_△IPF1=S_△IPF2-λS_△IF1F2，轉化為|PF₁|-|PF₂|=-λ|F₁F₂|是關鍵，也是難點，屬于中檔題．