Question

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可知動圓圓心的軌跡為拋物線，從而可求軌跡M的方程；
（2）將直線方程與拋物線方程聯立，可求A，B的坐標，從而可求AB長；
（3）假設△ABC能為正三角形，利用，導出矛盾，從而得解．
解答：解：（1）因為動圓M過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切
所以由拋物線定義知：圓心M的軌跡是以定點P（1，0）為焦點，定直線l：x=-1為準線的拋物線
所以 圓心M的軌跡方程為y²=4x------（4分）
（2）由題知，直線AB的方程為------（6分）
所以解得：------（8分）
∴----（10分）
（3）假設△ABC能為正三角形，則設點C的坐標為（-1，y）---（11分）
由題知（13分）
即：------（14分）
由于上述方程無實數解，因此直線l上不存在這樣的點C．------（16分）
點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系，考查存在性問題，關鍵是正確理解拋物線的定義．