Question

13．已知函數f（x）滿足$2f（{\frac{x-1}{x}}）+f（{\frac{x+1}{x}}）=1+x$，其中x∈R且x≠0，則函數f（x）的解析式為f（x）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{x-1}$（x≠1）．

Answer 1

分析 以-x代入可得2f（$\frac{x+1}{x}$）+f（$\frac{x-1}{x}$）=1-x，與已知方程聯立可得f（$\frac{x+1}{x}$）=$\frac{1}{3}$-x，再利用換元法，即可得出結論．

解答 解：以-x代入可得2f（$\frac{x+1}{x}$）+f（$\frac{x-1}{x}$）=1-x，
與已知方程聯立可得f（$\frac{x+1}{x}$）=$\frac{1}{3}$-x，
令t=$\frac{x+1}{x}$，t≠1，x=$\frac{1}{t-1}$，∴f（t）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{x-1}$（x≠1）．
故答案為f（x）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{x-1}$（x≠1）．

點評 本題考查函數解析式的求解，考查方程組思想，考查換元法，屬于中檔題．