Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與圓x2+y2-4x-2y+

5

2

=0交于A、B兩點，AB恰是該圓的直徑，且AB斜長為-

1

2

，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析：先根據圓的方程配方得出圓心坐標和直徑，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關于x的方程，再根據根與系數的關系求得AB的中點的橫坐標的表達式，最后根據聯立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．

解答：解：圓（x-2）²+（y-1）²=

5

2

，直徑AB=

10

設橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點（2，1）
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
AB斜率為-

1

2

，∴K_AB=

y 1-y 2

x 1-x 2

=-

1

2

由

y 1 2 a2 + x 1 2 b2 =1 y 2 2 a2 + x 2 2 b2 =1

?

y 1 2 - y 2 2

a2

=-

x 1 2 - x 2 2

b2

?kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

2

1

=-

1

2

?a2=4b2
將直線AB的方程y=-

1

2

x+2，代入橢圓方程得：x²+4y²-4b²=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²，
|AB|=

1+k 2

|x₁-x₂|，∴10=（1+

1

4

）²[4²-4（8-2b²）]
解得：a²=12，b²=3，
故橢圓的方程為：

x2

12

+

y2

3

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．