Question

下列四個命題中的假命題是（ ）
A．存在這樣的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
B．不存在無窮多個α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
C．對于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
D．不存在這樣的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ

Answer 1

【答案】分析：對A，由兩角和的余弦定理可知存在這樣的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，即可判斷；
對B，由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ-sinαsinβ，得sinαsinβ=0．∴α=kπ或β=kπ（k∈Z），即可判斷；
對C，對于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，即可得出答案；
對D，不存在這樣的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ，即可判斷真假；
解答：解：對A，由兩角和的余弦定理可知存在這樣的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ，故本選項為真命題；
對B，由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ-sinαsinβ，得sinαsinβ=0．∴α=kπ或β=kπ（k∈Z），故本選項為假命題．
對C，對于任意的α、β，由兩角和的余弦公式可得：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，故本選項為真命題；
對D，不存在這樣的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ，若存在α，β，則與兩角和的余弦公式矛盾，故本選項為真命題；
故選B．
點評：本題考查了四種命題的真假關系及兩角和與差的余弦函數，屬于基礎題，關鍵是掌握兩角和的余弦函數公式．