Question

（1）已知f（x）=

2

3x-1

+m是奇函數，求常數m的值；
（2）設函數f（x）是定義在R上的偶函數，并在區間（-∞，0）內單調遞增，f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）．求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，f（-1）=-f（1）成立，代入即可求解m
（2）由已知及偶函數的性質可知f（x）在區間（0，+∞）內單調遞減，結合已知不等式及2a²+a+1＞0，3a²-2a+1＞0恒成立，可得2a²+a+1＞3a²-2a+1，解不等式可求

解答：解：（1）由題意可得，x≠0
∵f（x）=

2

3x-1

+m是奇函數
∴f（-1）=-f（1）
∴

2

1 3 -1

+m=-（1+m）
∴m=1
（2）∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，并在區間（-∞，0）內單調遞增，
∴f（x）在區間（0，+∞）內單調遞減
∵f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）且2a²+a+1＞0，3a²-2a+1＞0恒成立，
∴2a²+a+1＞3a²-2a+1
即a²-3a＜0
∴0＜a＜3

點評：本題主要考查了奇函數的性質的簡單應用及函數的單調性及奇偶性在求解不等式中的綜合應用