Question

（2012•湖北模擬）設函數f(x)=cos(2x-

4π

3

)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并寫出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f(B+C)=

3

2

，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數解析式第一項利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，由余弦函數的值域得到余弦函數的最大值為1，可得出函數f（x）的最大值，并根據余弦函數的圖象與性質得出此時x的范圍，即可確定出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）由f（B+C）=

3

2

，將B+C代入第一問化簡后的式子中，利用誘導公式化簡后得到cos（2A-

π

3

）的值，由A為三角形的內角，得出2A-

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而確定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a²=b²+c²-2bccosC，利用完全平方公式化簡后，將b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-

4π

3

）+2cos²x
=（cos2xcos

4π

3

+sin2xsin

4π

3

）+（1+cos2x）
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，（3分）
∵-1≤cos（2x+

π

3

）≤1，即cos（2x+

π

3

）最大值為1，
∴f（x）的最大值為2，（4分）
要使f（x）取最大值，cos（2x+

π

3

）=1，即2x+

π

3

=2kπ（k∈Z），
解得：x=kπ-

π

6

（k∈Z），
則x的集合為{x|x=kπ-

π

6

（k∈Z）}；（6分）
（Ⅱ）由題意，f（B+C）=cos[2（B+C）+

π

3

]+1=

3

2

，即cos（2π-2A+

π

3

）=

1

2

，
化簡得：cos（2A-

π

3

）=

1

2

，（8分）
∵A∈（0，π），∴2A-

π

3

∈（-

π

3

，

5π

3

），
則有2A-

π

3

=

π

3

，即A=

π

3

，（10分）
在△ABC中，b+c=2，cosA=

1

2

，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=4-3bc，（12分）
由b+c=2知：bc≤(

b+c

2

)2=1，當且僅當b=c=1時取等號，
∴a²≥4-3=1，
則a取最小值1．（14分）

點評：此題考查了余弦定理，三角函數的化簡求值，余弦函數的圖象與性質，基本不等式，兩角和與差的余弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，特殊角的三角函數值，以及余弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．