Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上經過點(

π

6

，1)，且最高點與最低點橫坐標的絕對值為

π

2

．
（1）求f（x）；
（2）設α∈(0，

π

2

)，f(α-

π

12

)=

24

25

，求sin(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數最高點與最低點橫坐標之間的最短距離為

π

2

．求出函數的周期，然后求出ω，利用函數的圖象經過(

π

6

，1)以及0＜φ＜π，求出φ，即可得到函數的解析式．
（2）通過（1）函數的解析式，利用f(α-

π

12

)=

24

25

，求出sinα+cosα=

7

5

，然后求出sin(α+

π

4

)的值．

解答：解：（1）因為函數的圖象中最高點與最低點橫坐標的絕對值為

π

2

．得到函數的周期π，
所以ω=2，函數的圖象經過(

π

6

，1)，所以1=sin（2×

π

6

+φ），因為0＜φ＜π，所以φ=

π

6

，
函數的解析式f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）由f(α-

π

12

)=

24

25

，f（x）=sin（2x+

π

6

）．
所以sin2α=

24

25

，可得（sinα+cosα）²=

49

25

，
因為α∈(0，

π

2

)，所以sinα+cosα=

7

5

，
sin(α+

π

4

)=

2

2

（sinα+cosα）=

7

5

×

2

2

=

7 2

10

．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，函數值的求法，考查分析問題解決問題的能力，計算能力．