Question

平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀（1，0），P₁（2，1）且

PnPn+1

=

1

3

Pn-1Pn

（n∈N^*）．當(dāng)n→+∞時(shí)，點(diǎn)P_n無(wú)限趨近于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

=(-

1

2

)n（1，1）．再由

lim

n→∞

(-

1

2

)n（1，1）=（1，1）能得到M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：∵

PnPn+1

 =

1

3

Pn-1Pn

，
=(

1

3

)n

P0P1

=(

1

3

)n(

OP1

-

OP0

)=(

1

3

)n（1，1）．
∴P₂（2+

1

3

，1+

1

3

），P₃（2+

1

3

+(

1

3

)2，1+

1

3

+(

1

3

)2），…，P_n（2+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1，1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1）
∴P_n（2+

1 3 [1- ( 1 3 )n-1]

1- 1 3

，

1-( 1 3 )n

1- 1 3

），
∵點(diǎn)P_n無(wú)限趨近于點(diǎn)M，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5

2

，

3

2

）
故答案為（

5

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和應(yīng)用，解題時(shí)要注意向量的坐標(biāo)運(yùn)算．同時(shí)考查了運(yùn)算能力和分析歸納推理能力，屬中檔題題．