Question

隨著國家政策對節能環保型小排量車的調整，兩款1.1升排量的Q型車、R型車的銷量引起市場的關注．已知2010年1月Q型車的銷量為a輛，通過分析預測，若以2010年1月為第1月，其后兩年內Q型車每月的銷量都將以1%的比率增長，而R型車前n個月的銷售總量T_n大致滿足關系式：T_n=228a（1.01²ⁿ-1）（n≤24，n∈N^*）．
（1）求Q型車前n個月的銷售總量S_n的表達式；
（2）比較兩款車前n個月的銷售總量S_n與T_n的大小關系；
（3）試問從第幾個月開始Q型車的月銷售量小于R型車月銷售量的20%，并說明理由．
（參考數據：≈1.09，≈8.66）

Answer 1

解：（1）Q型車每月的銷售量{a_n}是以首項a₁=a，公比q=1+1%=1.01的等比數列；
前n個月的銷售總量S_n==100a（1.01ⁿ-1）（n∈N^*，且n≤24）．
（2）∵S_n-T_n=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01²ⁿ-1）=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01ⁿ-1）（1.01ⁿ+1）=-228a（1.01ⁿ-1）•（1.01ⁿ+）．
又1.01ⁿ-1＞0，1.01ⁿ+＞0，∴S_n＜T_n．
（3）記Q、R兩款車第n個月的銷量分別為a_n和b_n，
則a_n=a×1.01^n-1．
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=228a（1.01²ⁿ-1）-228a（1.01^2n-2-1）=228a×（1.01²-1）×1.01^2n-2=4.5828a1.01^2n-2．
b₁=4.5828a（或228×0.0201a），顯然20%×b₁＜a₁．
當n≥2時，若a_n＜20%×b_n，
即a×1.01^n-1＜×4.5828a×1.01^2n-2，
1.01^2（n-1）＞×1.01^n-1，1.01^n-1＞≈1.09，n-1＞≈8.66．
∴n≥10，即從第10個月開始，Q型車月銷售量小于R型車月銷售量的20%．
分析：（1）Q型車每月的銷售量{a_n}是等比數列，且a₁=a，q=1+1%；其前n項和S_n可求；
（2）作差比較，即S_n-T_n易得S_n＜T_n；
（3）若記Q、R兩款車第n個月的銷量分別為a_n和b_n，則a_n=a×1.01^n-1．
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1可得出，驗證b₁滿足條件，且20%×b₁＜a₁；若a_n＜20%×b_n成立，則結合題目中的所給數據，可得從第10個月開始，Q型車月銷售量小于R型車月銷售量的20%．
點評：本題考查了等比數列的通項公式，前n項和公式的應用；以及作差法比較大小，不等式的證明等，并且計算量大，容易出錯，是較難的題目．