已知函數f（x）=2x3+3ax2+1（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實數a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）求函數f（x）在閉區間[0，2]的最小值．
【答案】分析：（Ⅰ）由條件“f（x）在x=1處取得極值”可得f'（1）=0，解方程即可；
（Ⅱ）先求導數fˊ（x），然后討論a的值，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可
（Ⅲ）討論a的取值范圍，再根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax，
因為f（x）在x=1處取得極值，所以f'（1）=0，解得a=-1．（2分）
（Ⅱ）f'（x）=6x（x+a），
①當-a=0時，f'（x）=6x2≥0，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
②當-a＜0，即a＞0時，由f'（x）=6x（x+a）＞0
得x＜-a或x＞0，所以f（x）的單調增區間為（-∞，-a）和（0，+∞）；
由f'（x）=6x（x+a）＜0得-a＜x＜0，
所以f（x）的單調減區間為（-a，0）；
③當-a＞0即a＜0時，
由f'（x）=6x（x+a）＞0得x＞-a或x＜0，
所以f（x）的單調增區間為（-∞，0）和（-a，+∞）；
由f'（x）=6x（x+a）＜0，得0＜x＜-a，
所以f（x）的單調減區間為（0，-a）．
綜上所述，當a=0時，f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，f（x）的單調增區間為（-∞，-a）和（0，+∞），f（x）的單調減區間為（-a，0）；當a＜0時，f（x）的單調增區間為（-∞，0）和（-a，+∞），f（x）的單調減區間為（0，-a）．（8分）
（Ⅲ）①當-a≤0即a≥0時，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，2]上單調遞增，
所以f（x）的最小值為f（0）=1；
②當0＜-a＜2，即-2＜a＜0時，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，-a）上單調遞減，在（-a，2]
上單調遞增，所以f（x）的最小值為f（-a）=a3+1；
③當-a≥2即a≤-2時，由（Ⅱ）可知，f（x）在[0，2]上單調遞減，
所以f（x）的最小值為f（2）=17+12a．
綜上所述，當a≥0時，f（x）的最小值為f（0）=1；-2＜a＜0時，f（x）的最小值為f（-a）=a3+1；a≤-2時，f（x）的最小值為f（2）=17+12a．（14分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性和利用導數求閉區間上函數的最值，屬于基礎題．
