Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（1）=0，且最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x，若g（x）在區(qū)間（-3，2）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)f（x）=ax（x-1）（a≠0），又由最小值是-

1

4

，聯(lián)合解之即可；
（2）表示出g（x），求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，讓區(qū)間（-3，2）為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的子集即可．

解答：解：（1）由二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（1）=0．設(shè)f（x）=ax（x-1）（a≠0），
則f(x)=ax2-ax=a( x-

1

2

 )2-

a

4

．
又f（x）的最小值是-

1

4

，故

-a

4

=-

1

4

．解得a=1．
∴f（x）=x²-x；                                   …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x=x³-x²+ax²+x²-a²x=x³+ax²-a²x．
∴g'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）．　　　　　　…（6分）
由g'（x）=0，得x=

a

3

，或x=-a，又a≠0，故

a

3

≠-a．…（7分）
當(dāng)

a

3

＞-a，即a＞0時(shí)，由g'（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．    …（8分）
∴g（x）的減區(qū)間是( -a ， 

a

3

 )，又g（x）在區(qū)間（-3，2）上單調(diào)遞減，
∴

-a≤-3 a 3 ≥2

，解得

a≥3 a≥6

，故a≥6（滿足a＞0）；          …（10分）
當(dāng)

a

3

＜-a，即a＜0時(shí)，由g'（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a．
∴g（x）的減區(qū)間是( 

a

3

 ， -a )，又g（x）在區(qū)間（-3，2）上單調(diào)遞減，
∴

a 3 ≤-3 -a≥2

，解得

a≤-9 a≤-2

，故a≤-9（滿足a＜0）．       …（13分）
綜上所述得a≤-9，或a≥6．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-9]∪[6，+∞）．                …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性問題，屬中檔題．