Question

設函數f（x）=

e2x2+1

x

，g(x)=

e2x

ex

，對任意x₁、x₂∈（0，+∞），不等式

g(x1)

k

≤

f(x2)

k+1

恒成立，則正數k的取值范圍是

k≥1

．

Answer 1

分析：當x＞0時，f(x)=

e2x2+1

x

=e2x+

1

x

，利用基本不等式可求f（x）的最小值，對函數g（x）求導，利用導數研究函數的單調性，進而可求g（x）的最大值，由

g(x1)

k

≤

f(x2)

k+1

恒成立且k＞0，則

g(x)max

k

≤

f(x)max

k+1

，可求

解答：解：∵當x＞0時，f(x)=

e2x2+1

x

=e2x+

1

x

≥2

e2x• 1 x

=2e
∴x₁∈（0，+∞）時，函數f（x₁）有最小值2e
∵g(x)=

e2x

ex

∴g′(x)=

e2•(ex-xex)

e2x

=

e2(1-x)

ex

當x＜1時，g′（x）＞0，則函數g（x）在（0，1）上單調遞增
當x＞1時，g′（x）＜0，則函數在（1，+∞）上單調遞減
∴x=1時，函數g（x）有最大值g（1）=e
則有x₁、x₂∈（0，+∞），f（x₁）_min=2e＞g（x₂）_max=e
∵

g(x1)

k

≤

f(x2)

k+1

恒成立且k＞0
∴

e

k

≤

2e

k+1

∴k≥1
故答案為k≥1

點評：本題主要考查了利用基本不等式求解函數的最值，導數在函數的單調性，最值求解中的應用是解答本題的另一重要方法，函數的恒成立問題的轉化，本題具有一定的難度