Question

請思考如何利用導數進行求和．

1．S_n＝1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1(x≠0，n∈N^*)；

2．S_n＝＋…＋n(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

導思：1．一般很容易想到通過錯位相減的方法及構造二項式定理的方法來解決，轉換思維角度．由求導公式(xn)＝nxn－1可聯想到它們是另外一個和式的導數，因此可轉化求和．利用導數運算，可使問題解法更加簡捷． 　　2．通過對數列的通項進行聯想，合理運用了逆向思維的方法，從而激發了思維的靈活性，使數列的求和問題得到解決，其關鍵是抓住了數列通項的形式結構，這也有助于培養善于聯想的好習慣． 　　探究：1．當x＝1時，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；當x≠1時，x＋x2＋x3＋…＋xn＝兩邊都是對關于x的函數求導數． 　　(x＋x2＋x3＋…＋xn＝(， 　　即Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝． 　　2．(1＋x)n＝1＋＋…＋nxn－1， 　　令x＝1，得n·2n－1＝， 　　即Sn＝＋…＋n＝n·2n－1．