Question

過拋物線y²=2px(p＞0)上一定點P(x₀,y₀)(y₀＞0)作兩條直線分別交拋物線于A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂).

(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離；

（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數.

Answer 1

(1) 點M(,)到F的距離為-(-)=.

(2)證明見解析

解析:

（1）當y=時，x=.

又拋物線y²=2px(p>0)的準線方程為x=-,

則點M(,)到F的距離為-(-)=.

(2)設直線PA的斜率為k_PA,直線PB的斜率為k_PB.

由y₁²-y₀²=2p(x₁-x₀),

則k_PA=(x₁≠x₀).

同理,得k_PB=(x₂≠x₀).

由PA、PB的傾斜角互補知k_PA=-k_PB,

即=-,

即y₁+y₂=-2y₀,故=-2.

設直線AB的斜率為k_AB.

由y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),

∴k_AB=(x₁≠x₂).

將y₁+y₂=-2y₀(y₀＞0)代入上式得

k_AB=.(P(x₀,y₀)為一定點,y₀>0)

則k_AB=-為非零常數.