Question

（2009•大連二模）選修4-1：幾何證明選講
已知：AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）設(shè)AB=2R，求證：AD•OC=2R²．

Answer 1

分析：（I）連接OD，由半徑OD=OA，可得∠OAD=∠ODA；利用平行線的性質(zhì)OC∥AD，可得∠OAD=∠BOC，進而得到∠DOC=∠ODA．利用三角形全等的判定定理即可得到△DOC≌△BOC．可得∠ODC=∠OBC．利用圓的切線的判定定理即可證明；
（II）連接BD，可證明△ADB∽△OBC．利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答：證明：（Ⅰ）連接OD，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，
∵OC∥AD，∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA．
∴∠DOC=∠BOC，∵OD=OB，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC．∴∠ODC=∠OBC．
∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切線．
（Ⅱ）連接BD，∵AB是⊙0的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠OBC=∠ADB．
∵∠OAD=∠BOC．∴△ADB∽△OBC．∴

AD

OB

=

AB

OC

，
∴AD•OC=AB•OB=2R²．

點評：熟練掌握圓的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定及其性質(zhì)定理、圓的切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．