Question

已知

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bsinx），其中，a，b，c∈R，函數f（x）=

m

•

n

，且f（

π

6

）=f（

3π

2

）=2
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若關于x的方程f（x）+log₂k=0總有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積公式，根據f（

π

6

）=f（

3π

2

）=2，建立方程，即可求函數f（x）的解析式；
（II）將三角函數化簡，確定三角函數的范圍，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：（I）∵

m

=（asinx，cosx），

n

=（sinx，bsinx），
∴函數f（x）=

m

•

n

=asin²x+bsinxcosx
∵f（

π

6

）=f（

3π

2

）=2
∴asin²

π

6

+bsin

π

6

cos

π

6

=asin²

3π

2

+bsin

3π

2

cos

3π

2

=2
∴a=2，b=2

3

∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx；
（II）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=2sin（2x-

π

6

）+1
關于x的方程f（x）+log₂k=0總有實數解，即-2sin（2x-

π

6

）=log₂k+1總有實數解，
∴|log₂k+1|≤2
∴

1

8

≤k≤2．

點評：本題考查向量的數量積公式，考查三角函數的化簡，考查學生的計算能力，確定函數解析式是關鍵，屬于中檔題．