Question

已知實數x，y滿足y=

9-x2

，求z=2x+y的取值范圍為

[-6，3

5

]

．

Answer 1

分析：三角換元：x=3cosα，則y=

9-x2

=3sinα，α∈[0，π]．利用輔助角公式算出z=2x+y=3

5

sin（α+θ），結合α+θ的范圍利用三角函數的圖象，即可算出z=2x+y的取值范圍．

解答：解：設x=3cosα，則y=

9-x2

=3sinα，α∈[0，π]
可得z=2x+y=6cosα+3sinα=3

5

sin（α+θ），
其中θ=arctan2，
∵α∈[0，π]，得α+θ∈[arctan2，π+arctan2]
∴當α+θ=

π

2

時，z有最大值3

5

；當α=π時，z有最小值-6
由此可得z=2x+y的取值范圍為[-6，3

5

]
故答案為：[-6，3

5

]

點評：本題給出曲線方程y=f（x），求z=2x+y的取值范圍．著重考查了三角換元法求函數的值域的知識，屬于中檔題．